در
دو اتحاد قبل مشاهدي کرديد که عبارت مجموع با تفاضل دو جمله چون
(a+b)،(a-b) به توان هاي دو و سه رسيدند. حال اين اتحاد براي توانهاي
طبيعي n هم قابل تعميم است و به آن اتحاد بسط دو جمله اي نيوتن مي گويند.
مثال:
اتحاد مربع سه جمله
مثال:
تعميم اتحاد مربع چند جمله
مثال:
اتحاد مزدوج
مثال:
- لازم به توضيح است اگر داشته باشيم a+b آنگاه عبارت a-b را مزدوج عبارت اول يعني a+b مي گويند.
اتحاد جمله مشترک
مثال:
تعميم اتحاد جمله مشترک
- اين روال به همين ترتيب براي حالات ديگر هم برقرار است.
مثال:
اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
مثال:
تعميم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
پس مي توان نتيجه زير را بيان کرد:
- لازم به توضيح است که اين اتحاد فقط براي حالتي برقرار ست که توان n عدد طبيعي فرد باشد.
مثال:
اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
مثال:
تعميم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
پس مي توان نتيجه زير را بيان کرد:
- لازم به توضيح است اين اين اتحاد براي هر عدد طبيعي n برقرار است.
مثال:
اتحاد اويلر
- برهان:
-
صورتي ديگر از اتحاد اويلر:
-
برهان:
-
نتايج اتحاد اويلر:
-
اگر a+b+c=0 آنگاه
-
اگر a=b=c آنگاه
-
مثال:
همچنين اگر 
باشد آنگاه داريم:
اتحاد لاگرانژ
مثال:
